Ecuación de segundo grado

Los puntos comunes de una parábola con el eje X (recta y = o), si los hubiese, son las soluciones reales de la ecuación cuadrática.

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación algebraica de segundo grado.¹ ² Es decir que la mayorpotencia de la incógnita considerada en la ecuación, es dos. La expresión general de una ecuación cuadrática es

$ax^2 + bx + c = 0, \,\,{{con}}\;a\neq 0$

donde x representa la variable y a, b y c son constantes; a es un coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente.

La gráfica de una función cuadrática es una parábola. La ecuación cuadrática proporciona las intersecciones de la parábola con el eje de las abscisas, que pueden ser en dos puntos, en uno o ninguno.

En Europa: a) en Grecia las desarrolló el matemático Diofanto de Alejandría; b) el matemático judeoespañol Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum, introdujo la solución de estas ecuaciones.

[editar]Fórmula cuadrática

De una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas. Se denomina fórmula cuadrática³ a la ecuación que proporciona las raíces de la ecuación cuadrática:

$x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$ ,

donde el símbolo ± indica que los valores

$x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

$\ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$

constituyen las dos soluciones.

[editar]Discriminante

Ejemplo del signo del discriminante:
■ < 0: no posee soluciones reales;
■ = 0: posee una solución real (multiplicidad 2);
■ > 0: posee dos soluciones reales distintas.

En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):

$\Delta = b^2 - 4ac.\,$

Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.

Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):

$\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}$ .

Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje de las abscisas: X):

$-\frac{b}{2a} . \,\!$

Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):

$\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},$

donde i es la unidad imaginaria.

En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si –sólo si– el discriminante es no negativo.

[editar]Ecuación bicuadrática

Expresada de modo más general, una ecuación cuadrática en $x^n\,$ es de la forma:

$ax^{2n} +bx^n + c = 0 \,$

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática.

[editar]Clasificación

La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente:^{[cita requerida]}

1. Completa. Es la forma canónica:

$ax^2 + bx + c = 0 \,$

donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.

Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: 1) dos números reales y diferentes; 2) dos números reales e iguales (un número real doble); 3) dos números complejosconjugados, según el valor del discriminante

$\Delta = b^2 - 4ac \,$

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.

Se resuelven por factorización, o por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. Esta fórmula se deduce más adelante.

2. Incompleta pura. Puede expresarse de las dos maneras siguientes:

$ax^2 + c = 0 \,$

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x mediante operaciones inversas. Su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores dea y de c son de signo contrario, o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y de c son del mismo signo.

Una ecuación cuadrática incompleta:

$ax^2 = 0 \,$

con a distinto de cero. Prácticamente aparece muy raras veces. Por supuesto, su única solución de multiplicidad dos es x = 0.

3. Incompleta mixta. Se expresa así:

$ax^2 + bx = 0 \,$

donde los valores de a y de b son distintos de cero. Se resuelve por factorización de x. Siempre su solución es la trivial x₁ = 0. En números imaginarios no hay solución.

[editar]Deducción para resolver la ecuación de la forma $a x^2+bx+c = 0$

La ecuación de segundo grado se puede simplificar dividiendo por el coeficiente líder, de forma que

$ax^2+bx+c=0 \ \Leftrightarrow \ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$

Si usamos otras letras para simplificarlo de forma que $m = \frac{b}{a}$ y $n = \frac{c}{a}$ la demostración (que es algo más sencilla) queda como sigue:

Desde la ecuación

$x^2+mx+n=0 \,$

Transponiendo n

$x^2 + mx = -n \,$

Sumando $\frac{m^2}{4}$ a ambos términos

$x^2+mx+\frac{m^2}{4}=\frac{m^2}{4}-n$

Simplificamos el primer término a un binomio cuadrado

$\left( x+\frac{m}{2} \right)^2=\frac{m^2}{4}-n$

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros

$x+\frac{m}{2} = \pm \sqrt{\frac{m^2}{4}-n}$

Transponiendo $\frac{m}{2}$ y simplificando la fraccion de la raíz

$x = \frac{-m}{2}\pm \sqrt{\frac{m^2 - 4n}{4}}$

Simplficando a común denominador

$x = \frac{-m \pm \sqrt{m^2-4n}}{2}$

si deshacemos el cambio de variables, obtenemos el resultado

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{ 2a }$

La demostración sin cambio de variables se puede ver aquí:

[Mostrar] Demostración

[editar]Teorema de Cardano-Viète

Partiendo de que tenemos una ecuación cuadrática con raices $x_1 , x_2 \,$ , podemos construir el binomio a partir de estas con

$(x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0 \,$

$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0\,$

$a x^2 - a (x_1 + x_2)x + a x_1 x_2 = 0\,$

$a x^2 +bx + c = 0\,$

De lo que se deduce

Suma de raíces: $x_1 + x_2 = - \frac{ b }{ a } \,$

[Mostrar] Demostración

[Mostrar] Demostración

Producto de raíces: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \,$

[Mostrar] Demostración

[Mostrar] Demostración

Para obtener la diferencia de raíces se puede hacer uso de la identidad de Legendre.

$(x_1+x_2)^2-(x_1-x_2)^2=4(x_1 \cdot x_2) \,$

[Mostrar] Demostración

[editar]Solución mediante cambio de variable

Una manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (también de los grados tercero y cuarto) consiste en aplicar un cambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo $a x^2 + b x + c = 0\,$ , el cambio de variable se efectúa mediante $x = t + n \,$ .

Aplicando el cambio de variable anterior se obtiene la ecuación $a (t+n)^2 + b (t+n) +c = 0 \,$

Desarrollándola queda $a t^2 + (2 a n + b) t + a n^2 + b n +c = 0 \,$ (1).

Ahora se debe reducir la ecuación obtenida a un caso conocido del cual se conozca su solución. Es evidente que las ecuaciones de segundo grado del tipo $x^2 = K\,$ se resuelven directamente extrayendo la raíz cuadrada de ambos términos, cuya solución general es $x = \pm \sqrt {K} \,$ .

Para transformar la ecuación (1) en una ecuación con el término de primer grado igual a cero se debe forzar que $2 a n + b = 0 \,$ , es decir $n = -\frac {b} {2 a} \,$

Sustituyendo en (1) queda $a t^2 -\frac {b^2} {4 a} + c =0 \,$ . (2)

Esta nueva ecuación está en la forma $t^2 = K \,$ , que es lo pretendido mediante el cambio de variable, y que −como se expresó− su solución es inmediata, del tipo $t = \pm \sqrt {K} \,$

Por tanto, despejando la variable $t \,$ en la ecuación (2), queda $t = \pm \frac { \sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$

Dado que $x = t + n \,$ , y que $n = -\frac {b} {2 a} \,$ , se obtiene la solución de la ecuación original con variable en $x \,$ , que es

$x = -\frac {b} {2 a} \ \pm \frac {\sqrt {b^2 - 4 a c}} {2 a}$

El artificio de esta demostración consiste en aplicar un cambio de variable que reduce la ecuación de segundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata.

[editar]Otros procedimientos de solución

[editar]Solución por descomposición de factores

Un modo fácil y sencillo de resolver una ecuación de 2º grado es mediante el método de factorización o Descomposición en factores. A continuación se explica paso a paso este método, según el libro de Álgebra de A. Baldor.

Pasos

Simplificar la ecuación y ponerla en la forma

$x^2 + bx + c = 0 \,$

Factorice el primer miembro de la ecuación
Iguale a cero los factores obtenidos para obtener el valor de x

Ejemplo: Resolver

$x^2 + 5x -16 = 8 \,$

      Paso No.1       ---->

      Paso No.2        
      Paso No.3          --->     
                         --->

Nota. En caso de que dude del resultado multiplique ambos factores. Ejemplo: (x + 8 )(x - 3 ) = (x)(x) - 3(x) + 8(x) - 24 --> x2 - 3x + 8x - 24 --> x2 + 5x - 24

Obviamente le regresará el valor de la ecuación.

Matemática

miércoles, 21 de marzo de 2012